Il est possible que sur des PC un peu lents, les simulations de cette page soient elles-mêmes un peu lentes ...

Une corde de longueur L est tendue entre deux extrémités fixes. Quel est le lien entre le mouvement vibratoire de la corde, qu'on pince (guitare, ...) ou qu'on frappe (piano, ...), et les modes propres de vibration ?

exemple de mouvement vibratoire d'une corde, observé au ralenti à l'aide d'un stroboscope
(l'amplitude est volontairement exagérée)

Réponse : ce mouvement est la superposition de plusieurs modes propres de vibration.

Dans la simulation ci-dessus, il s'agit de la superposition du fondamental (ou premier harmonique), et des harmoniques de rangs 2, 3, et 4. Ces harmoniques n'ont pas nécessairement la même amplitude (voir les quatre simulations ci-après).

La vibration résultante n'est pas sinusoïdale, mais elle est périodique, de même fréquence que le fondamental.

La fréquence du son correspondant est celle du fondamental.

 

1er harmonique ou fondamental

fréquence : f1

longueur d'onde : l = 2L/1 donc 2L

2ème harmonique

fréquence : 2 f1

longueur d'onde : l = 2L/2 donc L

3ème harmonique

fréquence : 3 f1

longueur d'onde : l = 2L/3

4ème harmonique

fréquence : 4 f1

longueur d'onde : l = 2L/4 donc L/2


Puisque la fréquence des harmoniques autres que le fondamental, est multiple entière de celle du fondamental, on parle de quantification des fréquences des modes propres de vibration; il s'agit de modes propres quantifiés.

Pour l'harmonique de rang k = 2, 3, ..., fréquence k.f1 signifie que la vibration est k fois plus rapide que pour le fondamental, ce qui se vérifie bien sur les 4 simulations ci-dessus; regarder attentivement ...

Les modes propres peuvent être observés en excitant la corde de façon sinusoïdale (voir 1er TP).

Comme la corde vibre très rapidement en général, on observe des fuseaux; par exemple, pour le second harmonique :

Aux extrémités de chaque fuseau, on a un noeud de vibration; au milieu, on a un ventre de vibration.

Quel que soit le mode de vibration, la longueur d'un fuseau est une demi-longueur d'onde : l/2.

Chaque mode propre s'explique de la façon suivante : une onde progressive sinusoïdale, qui se réfléchit aux deux extrémités fixes en s'inversant. La superposition donne une onde stationnaire (onde non progressive).

Sur l'animation java visible en cliquant sur le lien ci-dessous, on peut voir une onde progressive sinusoïdale (en noir); elle donne naissance à une onde réfléchie (en gris). La superposition des deux est une onde stationnaire (en bleu). Mais comme il n'y a qu'une extrémité, il n'y a pas de modes propres ici. L'onde stationnaire est observée quelle que soit la fréquence (tester en déplaçant le curseur fréquence).

http://www.u-bourgogne.fr/PHYSIQUE/OndeStat/OndeStat.html

La vibration d'une corde dépend de la manière dont on l'excite. Dans le cas d'une corde initialement tendue en son milieu, on pourrait observer ceci par exemple, au stroboscope :

La vibration est différente de la précédente; la décomposition de cette vibration en ses différents harmoniques (autrement dit le spectre) est donc différente. Si la fréquence du fondamental est la même que précédemment, on aura deux sons de même hauteur (aussi graves ou aigus par exemple l'un que l'autre), mais ils n'auront pas le même timbre.

Pour terminer, la simulation suivante (*) permet de voir le lien entre les harmoniques présents, leur amplitude, leur fréquence, et le signal sonore résultant (somme des différents harmoniques) tel qu'on peut l'observer à l'oscilloscope en captant le son à l'aide d'un microphone. Noter que la phase introduit un décalage temporel entre les différents harmoniques, et donc une modification du signal résultant. Attention, ici, c'est le temps qui est en abscisse, et on visualise en rouge l'évolution temporelle de l'élongation en un point d'abscisse donnée de la corde; l'élongation est l'écart vertical par rapport à la position de repos (corde tendue horizontale).

générateur d'harmoniques sous Excel

(*) clic gauche pour visualiser la simulation Excel; clic droit puis "enregistrer sous" pour la télécharger.
Il est préférable au moins au début de bien analyser ce qui se passe avec 2 ou 3 harmoniques, pas plus, fondamental inclus.